O Conceito de PERT-estatístico: desvio-padrão

Por Stonner
25 de agosto de 2013 às 18:29

Desvio-padrão: vimos em recente artigo aqui no Blogtek, a introdução ao conceito de PERT-estatístico. Iremos aqui evoluir no assunto, e ver que além do conceito, já visto, de Tempo Esperado (a mediana da distribuição), é importante conhecer a medida da dispersão dos valores em torno do Tempo Esperado, o que é obtido através do Desvio-padrão.

PERT-estatístico: desvio padrão

Voltando ao exemplo didático das notas escolares:

Se João tirou 8 em Geografia, e a média da turma em Geografia foi 7, e João tirou 6 em Biologia, e média da turma em Biologia foi 5, em ambos os casos ele está um ponto acima da média da turma, então podemos dizer que seus resultados em Geografia e Biologia foram equivalentes, certo?

NÃO!! Depende da dispersão das notas, como podemos ver na figura abaixo:

PERT-estatístico: exemplos de dispersão

Observe que em Geografia a sua nota ficou exatamente no meio do caminho entre a média e a nota máxima, enquanto em Biologia sua nota ficou mais próxima da média do que da nota máxima. Ou seja, as dispersões das notas foram diferentes.

Para podermos comparar o desempenho de João em Geografia e Biologia, assim como quaisquer grandezas variáveis, precisamos do conceito de Desvio-padrão.

Uma variável aleatória contínua tem frequentemente uma distribuição aproximadamente simétrica, e na forma de um sino, sendo então chamada de distribuição normal. Exemplos de variáveis aleatórias contínuas, peso de recém-nascidos, altura da população adulta, masculina e feminina, etc.

O que caracteriza a distribuição normal é a sua média, e a sua dispersão:

PERT-estatístico: diferentes curvas de distribuição normal

A variação natural de muitos processos industriais é realmente aleatória. Embora as distribuições de muitos processos possam assumir uma variedade de formas, muitas variáveis observadas possuem uma distribuição de frequências que é, aproximadamente, uma distribuição de probabilidade Normal.

A curva de distribuição normal padronizada é aquela em que a média é Zero, e a sua dispersão é medida em desvios padrão (simbolizado por Sigma), sendo que praticamente 100% dos valores da curva estão entre -3 sigma e +3 sigma (a distância entre estes extremos é…6 sigma; então você já sabe porque tanto se fala em 6 sigma, é que neste intervalo todas as possibilidades estão consideradas…).

PERT-estatístico: curva de distribuição normal e o desvio-padrão

A curva de distribuição normal padronizada é importante porque ela já tem valores calculados e tabelados:

PERT-estatístico: tabela de distribuição normal padronizada

Como usar esta tabela? Por exemplo, vemos que para k=0 (quantidade de desvios-padrão) igual a zero (centro da curva), o valor é 0,5 ou 50%, o que significa que do começo do gráfico até o centro, a área (ou a probabilidade) é de exatos 50%.

PERT-estatístico: probabilidade para k=0

Para k=-1,5, ou seja, a 1,5 desvios padrão negativos, para a esquerda, a área (ou a probabilidade)do início até este valor é 6,68%.

PERT-estatístico: probabilidade para k=-1,5

E para k=2, portanto 2 desvios-padrão positivos, para a direita, a área (ou a probabilidade) do início até este valor é 97,72%.

PERT-estatístico: probabilidade pra k=2

Porém, nem todas as distribuições normais são padronizadas! Então, temos que buscar um meio de converter uma distribuição em uma distribuição padronizada:

PERT-estatístico: conversão para Curva-padrão

Já vimos no post anterior que te=(a+4m+b)/6. A distância entre os extremos da curva não padronizada é b-a, e da curva padrão é 6s. Então, 6s = b-a, logo s = (b-a)/6

Uma vez conhecido o desvio-padrão s, para sabermos a probabilidade de que um evento ocorra em até um tempo ti, temos que ver quantos desvios-padrão ti está de te. Então, k= (ti-te)/s

PERT-Estatístico: exemplo de aplicação

No post anterior, vimos o exemplo de uma solda de um tubo de AC, 6″: “Geralmente leva 8 horas, mas pode chegar até a levar 15 horas; na melhor das hipóteses, leva 7 horas”. Então, teríamos:

Te = (7 + 4×8 + 15)/6 = 9 horas: este é o tempo esperado.

Qual seria a probabilidade de que esta solda seja executada em até 10 horas?

Temos ti=10, te = 9 e o desvio-padrão s=(b-a)/6 = (15-7)/6 = 1,33

Portanto teremos k = (ti-te)/s = (10-9)/1,33 = 0,75 Procurando k = 0,75 na tabela, teremos para k=0,7 a probabilidade é 0,7580 e para k=0,8 a probabilidade é 0,7881. Interpolando (fica bem no meio), teremos a probabilidade igual a (0,7580+0,7881)/2 = 0,773, portanto a probabilidade de que esta solda seja feita em até 10 horas é 77,3%.

E qual seria a probabilidade de que esta solda seja executada em até 7,5 horas?

Temos ti=7,5, te = 9 e o desvio-padrão s=(b-a)/6 = (15-7)/6 = 1,33

Portanto teremos k = (ti-te)/s = (7,5-9)/1,33 =-1,125 Procurando k = -1,125 na tabela, teremos para k=-1,1 a probabilidade é 0,1357 e para k=-1,2 a probabilidade é 0,1151. Interpolando, teremos a probabilidade igual a -0,1306, portanto a probabilidade de que esta solda seja feita em até 7,5 horas é 13,06%.

Estes exemplos foram para uma única tarefa. Os projetos são constituídos de inúmeras tarefas em sequência, e neste caso, como fazer? É o que veremos no próximo post sobre o assunto. Para ser informado dos novos artigos, cadastre seu e-mail no topo da página, à direita, em Assine o Blogtek!. SEU E-MAIL NÃO SERÁ UTILIZADO POR TERCEIROS.